Circunferencia Con Centro En El Origen Ejemplos: Una Guía Completa
Bienvenidos a nuestro blog de matemáticas en el año 2023. Hoy, hablaremos sobre la circunferencia con centro en el origen y daremos algunos ejemplos para ayudar a entender mejor este tema. Si eres estudiante de matemáticas o simplemente alguien interesado en aprender más sobre geometría, ¡sigue leyendo!
¿Qué es una circunferencia con centro en el origen?
Comencemos por definir lo que es una circunferencia con centro en el origen. Es una circunferencia que tiene su centro ubicado en el punto (0,0) del plano cartesiano. Esta circunferencia tiene una ecuación muy simple:
x2 + y2 = r2
Donde "r" es el radio de la circunferencia. Ahora que sabemos la ecuación, podemos empezar a trabajar con algunos ejemplos.
Ejemplo 1: Encontrar la ecuación de la circunferencia
Supongamos que queremos encontrar la ecuación de una circunferencia con centro en el origen y radio de longitud 5. Para hacer esto, simplemente sustituimos el valor del radio en la ecuación:
x2 + y2 = 52
Lo que nos da:
x2 + y2 = 25
Y ahí lo tienes, esa es la ecuación de la circunferencia que estamos buscando.
Ejemplo 2: Graficar la circunferencia
Una vez que tenemos la ecuación de la circunferencia, podemos graficarla en el plano cartesiano. Para hacer esto, necesitamos encontrar algunos puntos en la circunferencia. Sabemos que el radio mide 5, así que eso significa que cualquier punto en la circunferencia debe estar a una distancia de 5 unidades del centro (0,0).
Para encontrar algunos puntos, podemos simplemente sustituir algunos valores en la ecuación. Por ejemplo, si sustituimos x=3, obtenemos:
32 + y2 = 25
y despejando y, obtenemos:
y = ±√(25-9)
Lo que nos da:
y = ±4
Así que tenemos dos puntos en la circunferencia: (3,4) y (3,-4). Podemos graficar estos puntos en el plano cartesiano y trazar la circunferencia a través de ellos.
Ejemplo 3: Encontrar la distancia entre dos puntos en la circunferencia
Supongamos que tenemos dos puntos en la circunferencia: (3,4) y (-2,-1). Queremos encontrar la distancia entre estos dos puntos. Para hacer esto, usamos la fórmula de distancia entre dos puntos:
d = √((x2-x1)2 + (y2-y1)2)
Sustituyendo los valores, obtenemos:
d = √(((-2)-(3))2 + ((-1)-(4))2)
Lo que nos da:
d = √((-5)2 + (-5)2)
d = √(50)
Así que la distancia entre los dos puntos es aproximadamente 7.07 unidades.
Ejemplo 4: Encontrar la intersección entre dos circunferencias
Supongamos que tenemos dos circunferencias: una con centro en el origen y radio 4, y otra con centro en el punto (3,0) y radio 3. Queremos encontrar los puntos de intersección entre estas dos circunferencias.
Para hacer esto, necesitamos encontrar la ecuación de la segunda circunferencia. Podemos hacerlo de la misma manera que en el Ejemplo 1:
(x-3)2 + y2 = 32
Expandiendo, tenemos:
x2 - 6x + 9 + y2 = 9
x2 + y2 = 6x
Entonces, ahora podemos sustituir la ecuación de la primera circunferencia con la segunda y resolver para "x" y "y". Obtenemos:
x2 + y2 = 42
x2 + y2 = 16
6x = 16
x = 16/6
x = 2.67
Sustituyendo "x" en una de las ecuaciones, obtenemos:
y2 = 16 - 2.672
y2 = 7.56
y = ±2.75
Entonces, los puntos de intersección son (2.67, 2.75) y (2.67, -2.75).
Ejemplo 5: Encontrar la tangente a la circunferencia
Finalmente, para nuestro último ejemplo, veremos cómo encontrar la tangente a la circunferencia en un punto dado. Supongamos que queremos encontrar la ecuación de la tangente a la circunferencia x2 + y2 = 9 en el punto (3,0).
Primero, encontramos la derivada de la ecuación de la circunferencia:
dy/dx = -x/y
En el punto (3,0), sustituimos x=3 y obtenemos:
dy/dx = -3/0
Esto no es posible, así que necesitamos usar el concepto de derivada implícita:
2x + 2y(dy/dx) = 0
dy/dx = -x/y
Sustituyendo x=3 y y=0, tenemos:
2(3) + 2(0)(dy/dx) = 0
dy/dx = -3/0
De nuevo, esto no es posible, así que necesitamos usar la regla de L'Hôpital:
dy/dx = limh→0(-3/(3+h)) = -3/3 = -1
Entonces, la pendiente de la tangente en el punto (3,0) es -1. Usando la ecuación punto-pendiente, tenemos:
y - 0 = -1(x - 3)
Lo que nos da:
y = -x + 3
Y esa es la ecuación de la tangente a la circunferencia en el punto (3,0).
En resumen, hemos cubierto algunos ejemplos de cómo trabajar con la circunferencia con centro en el origen. Desde encontrar la ecuación de la circunferencia hasta graficarla y encontrar puntos de intersección y tangentes, esperamos que estos ejemplos hayan sido útiles para entender mejor este tema de geometría.
¡Gracias por leer nuestro artículo y esperamos que hayas aprendido algo nuevo hoy!
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