Sucesiones Geométricas: Ejercicios Resueltos
Bienvenidos al mundo de las matemáticas, donde las sucesiones geométricas son una parte fundamental de la enseñanza en el ámbito matemático. En este artículo, te mostraremos cómo resolver algunos ejercicios de sucesiones geométricas de manera sencilla y eficaz.
¿Qué son las sucesiones geométricas?
Las sucesiones geométricas son una serie de números en la que cada término es el resultado de multiplicar el término anterior por una constante razonable llamada razón. Por ejemplo, si la razón es 2, los términos serían: 1, 2, 4, 8, 16, y así sucesivamente.
Ejercicio 1
Encontrar el término número 10 de la siguiente sucesión geométrica: 5, 10, 20, 40, 80, 160, ...
Para resolver este problema, necesitamos encontrar la razón primero. Dividimos el segundo término por el primer término para encontrar la razón:
10/5 = 2
La razón es 2. Ahora podemos usar la fórmula para encontrar cualquier término en una sucesión geométrica:
an = a1 x rn-1
Donde a1 es el primer término, r es la razón, y n es el número de términos.
Entonces, para encontrar el décimo término, simplemente reemplazamos los valores en la fórmula:
a10 = 5 x 210-1 = 5 x 29 = 2560
El décimo término es 2560.
Ejercicio 2
Calcular la suma de los primeros 6 términos de la siguiente sucesión geométrica: 3, 6, 12, 24, 48, ...
La razón de esta sucesión es 2, así que podemos usar la fórmula para la suma de los primeros n términos de una sucesión geométrica:
Sn = a1 x (1 - rn) / (1 - r)
Donde Sn es la suma de los primeros n términos, a1 es el primer término, r es la razón, y n es el número de términos.
Reemplazamos los valores en la fórmula:
S6 = 3 x (1 - 26) / (1 - 2) = 3 x (-63) / (-1) = 189
La suma de los primeros 6 términos es 189.
Ejercicio 3
Dada la sucesión geométrica: 2, 6, 18, 54, ...
Encontrar la razón y el quinto término.
Dividimos cualquier término por su término anterior para encontrar la razón:
6/2 = 3
La razón es 3. Para encontrar el quinto término, usamos la fórmula:
a5 = 2 x 35-1 = 2 x 34 = 2 x 81 = 162
El quinto término es 162.
Ejercicio 4
Encontrar la suma infinita de la sucesión geométrica: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...
La razón de esta sucesión es 1/2, así que podemos usar la fórmula para la suma infinita de una sucesión geométrica:
Sinf = a1 / (1 - r)
Reemplazamos los valores en la fórmula:
Sinf = 1/2 / (1 - 1/2) = 1
La suma infinita es 1.
Ejercicio 5
Dada la sucesión geométrica: 4, 20, 100, ...
Encontrar la razón y la suma de los primeros 8 términos.
Dividimos cualquier término por su término anterior para encontrar la razón:
20/4 = 5
La razón es 5. Para encontrar la suma de los primeros 8 términos, usamos la fórmula:
S8 = 4 x (1 - 58) / (1 - 5) = 4 x (-390624) / (-4) = 390624
La suma de los primeros 8 términos es 390624.
Ejercicio 6
Dada la sucesión geométrica: 5, 10, 5/2, 5/4, ...
Encontrar la razón y el decimotercer término.
Dividimos cualquier término por su término anterior para encontrar la razón:
10/5 = 2
5/10 = 1/2
5/2 = 2.5
5/4 = 1.25
La razón es 1/2. Para encontrar el decimotercer término, usamos la fórmula:
a13 = 5 x (1/2)13-1 = 5 x (1/2)12 = 0.01953125
El decimotercer término es 0.01953125.
Ejercicio 7
Dada la sucesión geométrica: 3, -6, 12, -24, ...
Encontrar la razón y la suma de los primeros 7 términos.
Dividimos cualquier término por su término anterior para encontrar la razón:
-6/3 = -2
12/-6 = -2
-24/12 = -2
La razón es -2. Para encontrar la suma de los primeros 7 términos, usamos la fórmula:
S7 = 3 x (1 - (-2)7) / (1 - (-2)) = 3 x (1 - 128) / 3 = 127
La suma de los primeros 7 términos es 127.
Ejercicio 8
Dada la sucesión geométrica: 1/3, 1/9, 1/27, ...
Encontrar la razón y la suma infinita.
Dividimos cualquier término por su término anterior para encontrar la razón:
1/9 / 1/3 = 1/3
1/27 / 1/9 = 1/3
La razón es 1/3. Para encontrar la suma infinita, usamos la fórmula:
Sinf = 1/3 / (1 - 1/3) = 1/2
La suma infinita es 1
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