Problemas Resueltos De Identidades Trigonométricas

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Las identidades trigonométricas son una herramienta fundamental en la resolución de problemas relacionados con la trigonometría. Estas identidades permiten relacionar las funciones trigonométricas con otras funciones y simplificar expresiones complejas. En este artículo, resolveremos algunos problemas utilizando las identidades trigonométricas.

Problema 1

Calcular el valor de la expresión cos² x - sen² x utilizando las identidades trigonométricas.

Utilizando la identidad trigonométrica fundamental, sabemos que:

cos² x + sen² x = 1

Podemos despejar el valor de cos² x:

cos² x = 1 - sen² x

Sustituyendo en la expresión original, obtenemos:

cos² x - sen² x = (1 - sen² x) - sen² x

= 1 - 2sen² x

Problema 2

Calcular el valor de la expresión tan x / (1 - cot x) utilizando las identidades trigonométricas.

Utilizando la identidad trigonométrica fundamental, sabemos que:

tan x = sen x / cos x

cot x = cos x / sen x

Podemos sustituir estos valores en la expresión original:

tan x / (1 - cot x) = (sen x / cos x) / (1 - cos x / sen x)

= (sen x / cos x) / ((sen x - cos x) / sen x)

= sen x / (cos x - sen x)

Utilizando la identidad trigonométrica fundamental, sabemos que:

cos² x + sen² x = 1

cos x = ±√(1 - sen² x)

Podemos utilizar esta identidad para expresar cos x en términos de sen x:

cos x = ±√(1 - sen² x)

= ±√(1 - (cos x / sen x)²)

= ±√((sen² x - cos² x) / sen² x)

= ±√((1 - cos² x) / sen² x)

= ±√(1 / sen² x - 1)

= ±√(csc² x - 1)

Sustituyendo en la expresión original:

sen x / (cos x - sen x) = sen x / (±√(csc² x - 1) - sen x)

No podemos simplificar más esta expresión.

Problema 3

Calcular el valor de la expresión sen 2x / (1 - cos 2x) utilizando las identidades trigonométricas.

Utilizando la identidad trigonométrica fundamental, sabemos que:

sen 2x = 2sen x cos x

cos 2x = cos² x - sen² x

Podemos sustituir estos valores en la expresión original:

sen 2x / (1 - cos 2x) = 2sen x cos x / (1 - (cos² x - sen² x))

= 2sen x cos x / (2sen² x)

= cos x / sen x

= cot x

Problema 4

Calcular el valor de la expresión sen x / (1 + cos x) utilizando las identidades trigonométricas.

Utilizando la identidad trigonométrica fundamental, sabemos que:

sen² x + cos² x = 1

sen x / cos x = tan x

1 / cos x = sec x

1 + tan² x = sec² x

Podemos utilizar estas identidades para simplificar la expresión original:

sen x / (1 + cos x) = sen x / (cos² x + cos x)

= sen x / (cos x (cos x + 1))

= sen x / (cos x (cos x + 1) / cos x)

= sen x / (cos x + 1)

= sen x / (1 / sec x + 1)

= sen x / ((1 + tan² x) / 1)

= sen x / (1 + tan² x)

= sen x / sec² x

= sen x cos² x

Problema 5

Calcular el valor de la expresión cos 2x + cos 4x utilizando las identidades trigonométricas.

Utilizando la identidad trigonométrica fundamental, sabemos que:

cos 2x = cos² x - sen² x

cos 4x = cos² 2x - sen² 2x

Podemos utilizar estas identidades para expresar cos 4x en términos de cos 2x:

cos 4x = cos² 2x - sen² 2x

= (cos² x - sen² x)² - (2sen x cos x)²

= cos⁴ x - 2cos² x sen² x + sen⁴ x - 4sen² x cos² x

= cos⁴ x - 2cos² x sen² x + sen⁴ x - 4(1 - cos² x) cos² x

= cos⁴ x - 2cos² x sen² x + sen⁴ x - 4cos² x + 4cos⁴ x

= 5cos⁴ x - 2cos² x sen² x + sen⁴ x - 4cos² x

Sustituyendo en la expresión original:

cos 2x + cos 4x = cos² x - sen² x + 5cos⁴ x - 2cos² x sen² x + sen⁴ x - 4cos² x

= 5cos⁴ x - 5cos² x + sen⁴ x - sen² x

Problema 6

Calcular el valor de la expresión cos 3x - cos x utilizando las identidades trigonométricas.

Utilizando la identidad trigonométrica fundamental, sabemos que:

cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b

cos (a - b) = cos a cos b + sen a sen b

Podemos utilizar estas identidades para expresar cos 3x y cos x en términos de cos 2x:

cos 3x = cos (2x + x) = cos 2x cos x - sen 2x sen x

= (cos² x - sen² x) cos x - 2sen x cos x

= cos³ x - 3cos x sen² x

cos x = cos (2x - x) = cos 2

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