Identidades Trigonométricas Ejercicios Resueltos Y Demostraciones
En la trigonometría, las identidades son ecuaciones que se cumplen para cualquier valor de las variables involucradas. Las identidades trigonométricas son de gran importancia en la resolución de problemas y en la demostración de teoremas. En este artículo, vamos a presentar algunos ejercicios resueltos y demostraciones de identidades trigonométricas.
Identidades Básicas
Las identidades básicas de la trigonometría son aquellas que se derivan directamente de las definiciones de las funciones trigonométricas. Las más comunes son:
- Seno al cuadrado más coseno al cuadrado es igual a uno: $$\sin^2x+\cos^2x=1$$
- Tangente es seno sobre coseno: $$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$
- Cotangente es coseno sobre seno: $$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$$
Estas identidades son fundamentales y se utilizan en casi todas las demostraciones y ejercicios de trigonometría.
Identidades de Ángulo Doble
Las identidades de ángulo doble son aquellas que se aplican a un ángulo que es el doble de otro. Las más comunes son:
- Seno del ángulo doble: $$\sin2x=2\sin x\cos x$$
- Coseno del ángulo doble: $$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$$
- Tangente del ángulo doble: $$\tan2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}$$
Estas identidades son útiles para simplificar expresiones y resolver ecuaciones trigonométricas.
Identidades de Ángulo Medio
Las identidades de ángulo medio son aquellas que se aplican a un ángulo que es la mitad de otro. Las más comunes son:
- Seno del ángulo medio: $$\sin\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$$
- Coseno del ángulo medio: $$\cos\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$$
- Tangente del ángulo medio: $$\tan\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$$
Estas identidades son útiles para simplificar expresiones y resolver ecuaciones trigonométricas.
Identidades de Suma y Diferencia
Las identidades de suma y diferencia son aquellas que se aplican a la suma o diferencia de dos ángulos. Las más comunes son:
- Seno de la suma: $$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$$
- Coseno de la suma: $$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$$
- Tangente de la suma: $$\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$$
- Seno de la diferencia: $$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$$
- Coseno de la diferencia: $$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$$
- Tangente de la diferencia: $$\tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}$$
Estas identidades son útiles para simplificar expresiones y resolver ecuaciones trigonométricas.
Ejercicios Resueltos
A continuación, vamos a presentar algunos ejercicios resueltos de identidades trigonométricas.
Ejercicio 1
Demuestre que $$\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}=\tan\frac{\pi}{4}-\tan x$$
Solución:
Empezamos por simplificar la expresión del lado izquierdo:
$$\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}=\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\cdot\frac{\sin x-\cos x}{\sin x-\cos x}=\frac{\sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x}{\sin^2x-\cos^2x}$$Usando la identidad $\sin^2x+\cos^2x=1$, tenemos:
$$\frac{\sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x}{\sin^2x-\cos^2x}=\frac{1-2\sin x\cos x}{\sin^2x-\cos^2x}$$Usando la identidad $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, tenemos:
$$\frac{1-2\sin x\cos x}{\sin^2x-\cos^2x}=\frac{1-\frac{2\sin x}{\cos x}}{\frac{\sin^2x}{\cos^2x}-1}=\frac{\cos x-2\sin x}{\sin^2x-\cos^2x}=\frac{\cos x-2\sin x}{-\cos2x}=\frac{2\sin\frac{\pi}{4}-2\sin x}{\cos\frac{\pi}{2}-\cos2x}=\frac{2\sin\frac{\pi}{4}-2\sin x}{\sin2x}=\tan\frac{\pi}{4}-\tan x$$por lo que se cumple la igualdad.
Ejercicio 2
Encuentre el valor de $$\frac{\sin\frac{\pi}{8}+\cos\frac{\pi}{8}}{\sin\frac{\pi}{8}-\cos\frac{\pi}{8}}$$
Solución:
Usando las identidades $\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, tenemos:
$$\frac{\sin\frac{\pi}{8}+\cos\frac{\pi}{8}}{\sin\frac{\pi}{8}-\cos\frac{\pi}{8}}=\frac{\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{8}+\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{8}}{\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{8}-\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{8}}=\frac{\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{8}+\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{8}}{\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{8}-\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{8}}=\frac{\sin\frac{3\pi}{8}}{\cos\frac{\pi}{8}}=\frac{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}=1$$por lo que el valor buscado es 1.
Conclusion
En este artículo, hemos presentado algunas de las identidades trigonométricas más comunes, así como ejemplos resueltos y demostraciones. Las identidades trigonométricas son esenciales en la resolución de problemas y en la demostración de teoremas en trigonometría, por lo que es importante tener un buen conocimiento de ellas. Esperamos que este artículo haya sido útil y haya ayudado a mejorar su comprensión de las identidades trigonométricas.
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