Demostración De Identidades Trigonométricas: Ejercicios Resueltos
Bienvenidos a nuestro artículo sobre la demostración de identidades trigonométricas. En este artículo, vamos a presentar una serie de ejercicios resueltos que les ayudarán a entender el proceso de demostración de estas identidades.
¿Qué son las Identidades Trigonométricas?
Las identidades trigonométricas son ecuaciones matemáticas que relacionan las funciones trigonométricas de un ángulo con las funciones trigonométricas de otro ángulo. Estas identidades son muy importantes en la resolución de problemas de trigonometría.
Ejercicio 1:
Demuestre que:
Para demostrar esta identidad, utilizaremos la identidad pitagórica, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Sabiendo esto, podemos decir que:
En un triángulo rectángulo, si tomamos el ángulo x, el seno de x será igual al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa, y el coseno de x será igual al cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Entonces, podemos decir que:
sen²x + cos²x = (cateto opuesto / hipotenusa)² + (cateto adyacente / hipotenusa)²
Utilizando la identidad pitagórica, podemos simplificar esta ecuación de la siguiente manera:
sen²x + cos²x = (cateto opuesto)² / (hipotenusa)² + (cateto adyacente)² / (hipotenusa)²
sen²x + cos²x = (cateto opuesto)² + (cateto adyacente)² / (hipotenusa)²
sen²x + cos²x = (hipotenusa)² / (hipotenusa)²
sen²x + cos²x = 1
Por lo tanto, hemos demostrado que sen²x + cos²x = 1.
Ejercicio 2:
Demuestre que:
Para demostrar esta identidad, utilizaremos las definiciones de las funciones trigonométricas y la identidad pitagórica. Sabemos que:
tan x = sen x / cos x
sec x = 1 / cos x
Entonces, podemos decir que:
1 + tan²x = 1 + (sen²x / cos²x)
Utilizando la identidad pitagórica, podemos reescribir esta ecuación de la siguiente manera:
1 + tan²x = (cos²x / cos²x) + (sen²x / cos²x)
1 + tan²x = (cos²x + sen²x) / cos²x
1 + tan²x = 1 / cos²x
1 + tan²x = sec²x
Por lo tanto, hemos demostrado que 1 + tan²x = sec²x.
Ejercicio 3:
Demuestre que:
Para demostrar esta identidad, utilizaremos las definiciones de las funciones trigonométricas y la identidad pitagórica. Sabemos que:
sec x = 1 / cos x
csc x = 1 / sen x
Entonces, podemos reescribir la ecuación de la siguiente manera:
cos x / (1 - sen x) + sen x / (1 - cos x) = 1 / cos x + 1 / sen x
Para simplificar esta ecuación, podemos utilizar el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores:
cos x * sen x / (cos x * (1 - sen x)) + cos x * sen x / (sen x * (1 - cos x)) = (sen x + cos x) / (sen x * cos x)
Luego, podemos simplificar la ecuación de la siguiente manera:
cos x * sen x / (cos x - cos x * sen x + sen x - cos x * sen x) = (sen x + cos x) / (sen x * cos x)
cos x * sen x / (cos x + sen x - 2 * cos x * sen x) = (sen x + cos x) / (sen x * cos x)
Utilizando la identidad trigonométrica sin²x + cos²x = 1, podemos reescribir esta ecuación de la siguiente manera:
cos x * sen x / (cos x + sen x - sin²x - cos²x) = (sen x + cos x) / (sen x * cos x)
cos x * sen x / (2 * sen x * cos x - sin²x - cos²x) = (sen x + cos x) / (sen x * cos x)
cos x * sen x / (2 * sen x * cos x - 1) = (sen x + cos x) / (sen x * cos x)
Utilizando nuevamente la identidad trigonométrica sin²x + cos²x = 1, podemos reescribir esta ecuación de la siguiente manera:
cos x * sen x / (2 * sen x * cos x - sin²x - cos²x) = (sen x + cos x) / (sen x * cos x)
cos x * sen x / (2 * sen x * cos x - (1 - sin²x)) = (sen x + cos x) / (sen x * cos x)
cos x * sen x / (2 * sen x * cos x - cos²x) = (sen x + cos x) / (sen x * cos x)
cos x * sen x / (2 * sen x * cos x - (1 - sen²x)) = (sen x + cos x) / (sen x * cos x)
cos x * sen x / (2 * sen x * cos x - 1 + sen²x) = (sen x + cos x) / (sen x * cos x)
cos x * sen x / ((sen x + cos x) * (sen x - cos x) + sen²x) = (sen x + cos x) / (sen x * cos x)
cos x * sen x / ((sen x + cos x) * (sen x - cos x + sen²x / (sen x + cos x))) = (sen x + cos x) / (sen x * cos x)
cos x * sen x / ((sen x + cos x) * ((sen x + cos x) - 2 * cos x * sen x)) = (sen x + cos x) / (sen x * cos x)
cos x * sen x / ((sen x + cos x)² - 2 * cos x * sen x * (sen x + cos x)) = (sen x + cos x) / (sen x * cos x)
cos x * sen x / ((sen x + cos x)² - 2 * sen x * cos x * (sen x + cos x)) = (sen x + cos x) / (sen x * cos x)
cos x * sen x / ((sen x + cos x) - 2 * sen x * cos x) = 1 / (sen x * cos x)
cos x * sen x = 1
Por lo tanto, hemos demostrado que cos x / (1 - sen x) + sen x / (1 - cos x) = sec x + csc x.
En conclusión, hemos presentado tres ejercicios resueltos para demostrar identidades trigonométricas. Esperamos que estos ejercicios les hayan ayudado a entender el proceso de demostración de estas identidades. Recuerden que la práctica es fundamental para mejorar en la resolución de problemas de trigonometr
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