Funciones Biyectivas Ejercicios Resueltos
Si estás estudiando matemáticas, seguro que has oído hablar de las funciones biyectivas. En este artículo, te presentamos algunos ejercicios resueltos que te ayudarán a entender mejor este concepto. Pero antes, veamos de qué se trata exactamente.
¿Qué son las funciones biyectivas?
Una función es biyectiva cuando cumple dos condiciones:
- Cada elemento del conjunto de llegada tiene exactamente un elemento del conjunto de partida que le corresponde.
- Cada elemento del conjunto de partida tiene exactamente un elemento del conjunto de llegada que le corresponde.
En otras palabras, la función es uno a uno y sobre. La propiedad de ser uno a uno significa que no hay dos elementos distintos en el conjunto de partida que se correspondan con el mismo elemento en el conjunto de llegada. La propiedad de ser sobre significa que cada elemento del conjunto de llegada es la imagen de algún elemento del conjunto de partida.
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1
Sea la función f(x) = 2x - 1. Demuestra que es biyectiva.
Para demostrar que una función es biyectiva, debemos demostrar que es uno a uno y sobre. Para demostrar que es uno a uno, supongamos que f(x1) = f(x2) para algunos x1 y x2 en el dominio de f. Entonces:
- 2x1 - 1 = 2x2 - 1
- 2x1 = 2x2
- x1 = x2
Por lo tanto, la función es uno a uno. Para demostrar que es sobre, debemos demostrar que para cada y en el rango de f, existe al menos un x en el dominio de f tal que f(x) = y. Sea y cualquier número real. Entonces:
- y = 2x - 1
- x = (y + 1) / 2
Por lo tanto, para cualquier y en el rango de f, existe un x en el dominio de f tal que f(x) = y. Por lo tanto, la función es sobre.
Concluimos que la función f(x) = 2x - 1 es biyectiva.
Ejercicio 2
Sea la función g(x) = x^3. Demuestra que no es biyectiva.
Para demostrar que una función no es biyectiva, basta con demostrar que no es uno a uno o que no es sobre. En este caso, demostraremos que no es uno a uno. Para ello, supongamos que g(x1) = g(x2) para algunos x1 y x2 en el dominio de g. Entonces:
- x1^3 = x2^3
- x1 = x2
Por lo tanto, la función no es uno a uno. Concluimos que la función g(x) = x^3 no es biyectiva.
Conclusión
Las funciones biyectivas son un concepto importante en matemáticas, y es importante entender su definición y propiedades. En este artículo hemos presentado algunos ejercicios resueltos que te ayudarán a practicar con este concepto. Recuerda que para demostrar que una función es biyectiva, debes demostrar que es uno a uno y sobre.
¡Sigue practicando y pronto serás un experto en funciones biyectivas!
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