Dominio Y Rango Ejercicios Resueltos
Si estás estudiando matemáticas, es probable que hayas escuchado hablar sobre el dominio y el rango de una función. Estos son conceptos importantes que te ayudarán a entender mejor cómo funcionan las funciones matemáticas y cómo se relacionan con los gráficos.
¿Qué es el dominio?
El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x en la mayoría de las funciones). En otras palabras, es el conjunto de valores que se pueden ingresar en la función y que producirán una salida válida.
Por ejemplo, considera la función f(x) = x^2. El dominio de esta función es todos los números reales, ya que cualquier número real se puede elevar al cuadrado.
En algunas funciones, puede haber valores que no sean válidos para el dominio. Por ejemplo, considera la función g(x) = 1/x. En este caso, el valor x=0 no es válido para el dominio, ya que produciría una división por cero.
¿Qué es el rango?
El rango de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente (la y en la mayoría de las funciones). En otras palabras, es el conjunto de valores que la función puede producir como salida.
Por ejemplo, considera la función h(x) = x^2. El rango de esta función es todos los números reales mayores o iguales a cero, ya que cualquier número real elevado al cuadrado es mayor o igual a cero.
Es importante tener en cuenta que no todas las funciones tienen un rango que abarque todos los números reales. Por ejemplo, considera la función i(x) = sin(x). En este caso, el rango de la función está limitado a valores entre -1 y 1, ya que el valor máximo que puede tomar sin(x) es 1 y el valor mínimo es -1.
Ejercicios resueltos:
Ejercicio 1:
Dada la función f(x) = x^3 - 2x, encuentra su dominio y rango.
Solución:
El dominio de f(x) es todos los números reales, ya que cualquier número real se puede elevar al cubo y restarle el doble de sí mismo.
Para encontrar el rango de f(x), podemos usar un poco de álgebra:
y = x^3 - 2x
y = x(x^2 - 2)
El término x^2 - 2 siempre será mayor o igual a -2, por lo que el valor mínimo que puede tomar la función es -2. Además, el término x^2 - 2 puede tomar cualquier valor mayor o igual a cero, por lo que el valor máximo que puede tomar la función es infinito.
Por lo tanto, el rango de f(x) es todos los números reales mayores o iguales a -2.
Ejercicio 2:
Dada la función g(x) = 1/(x-2), encuentra su dominio y rango.
Solución:
El denominador de la función nunca puede ser cero, ya que produciría una división por cero. Por lo tanto, el dominio de g(x) es todos los números reales excepto x=2.
Para encontrar el rango de g(x), podemos observar que la función siempre producirá un número negativo si x se acerca a 2 por la izquierda y un número positivo si x se acerca a 2 por la derecha. Además, la función nunca puede alcanzar los valores 0 o 1.
Por lo tanto, el rango de g(x) es todos los números reales excepto 0 y 1.
Conclusión
El dominio y el rango son conceptos importantes que te ayudarán a entender mejor cómo funcionan las funciones matemáticas y cómo se relacionan con los gráficos. Recuerda siempre asegurarte de que los valores que ingreses en una función sean válidos para el dominio y de que prestes atención a los valores que la función puede producir como salida (el rango).
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